Menyelesaikan Paradoks

Malam Yanofsky memberitahu kita bagaimana untuk menangani percanggahan dan batasan akal yang timbul daripadanya.

Kita semua mempunyai keinginan yang bercanggah. Kami mahu naik pangkat, tetapi tidak mahu bekerja terlalu keras. Kami ingin berkencan dengan Betty dan Veronica (atau Bob dan Vernon). Kami berhasrat untuk kekal kurus, tetapi juga ingin makan sekeping kek yang lazat itu. Semua kehendak yang bercanggah ini menyebabkan dilema. Kita dihadkan oleh fakta bahawa kita boleh memilih hanya satu daripada pilihan atau kita mendapat percanggahan. Apabila kita matang, kita belajar bagaimana untuk mengemudi dari percanggahan dan menyelesaikan konflik kita. Kebanyakan kita belajar membuat pilihan, dan sesetengah daripada kita kadang-kadang membuat keputusan yang betul. Secara umum, kejayaan kita bergantung pada pilihan bercanggah yang mana kita buat. Saya sangat marah sekarang. Ini adalah hari yang paling teruk. Saya tidak percaya ini berlaku. Saya sangat marah dan kecewa. Ini adalah hari yang paling teruk.

Ahli falsafah, saintis, dan ahli matematik juga menangani percanggahan dalam kerja mereka. Mereka menyelesaikan percanggahan ini dalam pelbagai cara bergantung kepada bagaimana percanggahan itu berlaku. Walaupun percanggahan ini berlaku dalam bidang yang sangat pelbagai dan tidak berkaitan, kita boleh mengklasifikasikan jenis percanggahan yang timbul dalam bidang ini dengan agak mudah. Saya tidak pasti apa yang perlu dilakukan. Saya rasa seperti saya di atas kepala saya. Ini jauh lebih sukar daripada yang saya fikirkan. Saya rasa seperti penipuan total. Seperti, apa yang saya lakukan di sini? Saya tidak boleh berpura-pura tahu apa yang saya lakukan. Semua orang akan mengetahui bahawa saya adalah penipu.

Paradoks Kewujudan

Terdapat kisah comel yang dikaitkan dengan Bertrand Russell (1872-1970) yang telah membingungkan orang selama beberapa dekad. Terdapat sebuah kampung terpencil yang hanya mempunyai seorang tukang gunting rambut. Di kampung ini ada yang pergi ke tukang gunting rambut, dan ada yang memotong rambut mereka sendiri. Kampung ini mempunyai peraturan berikut yang dikuatkuasakan dengan ketat: setiap orang mesti dipotong rambut mereka; tambahan pula, jika anda memotong rambut anda sendiri, maka anda tidak pergi ke tukang gunting rambut; dan jika anda tidak memotong rambut anda sendiri, anda pergi ke tukang gunting rambut. Ia adalah satu atau yang lain. Walaupun peraturan yang kelihatan tidak berbahaya ini berfungsi untuk kebanyakan orang di kampung, terdapat seorang penduduk kampung yang menyebabkan masalah besar kepada pihak berkuasa. Tanya diri anda soalan: Siapa yang memotong rambut tukang gunting? Jika tukang gunting memotong rambutnya sendiri, maka, kerana peraturan, dia tidak boleh pergi ke tukang gunting: tetapi dia adalah tukang gunting! Jika, sebaliknya, tukang gunting pergi ke tukang gunting, maka dia memotong rambutnya sendiri, melanggar peraturan. Kedua-dua keputusan ini menunjukkan percanggahan. Percanggahan adalah bahawa tukang gunting mesti memotong rambutnya sendiri dan tidak boleh memotong rambutnya sendiri.

Kisah kecil yang membosankan minda ini adalah contoh prototaip paradoks. Iaitu, ia adalah percubaan pemikiran di mana idea diandaikan dan percanggahan secara logik diperoleh daripadanya. Apa yang salah dengan percanggahan? Percanggahan ialah proposisi (iaitu, penegasan) bahawa sesuatu kedua-duanya adalah, dan ia tidak. Kita juga boleh mengatakan bahawa percanggahan adalah dalil yang benar dan salah. Tidak ada percanggahan dalam dunia fizikal. Dalam alam semesta fizikal, sesuatu tidak boleh menjadi dan tidak menjadi; atau, cadangan sama ada benar atau palsu. Apakah yang mungkin bermakna sesuatu itu benar dan palsu? Kita tidak boleh membayangkan alam semesta dengan percanggahan. Memandangkan percanggahan tidak boleh dipertahankan, pasti ada sesuatu yang salah dengan andaian dari mana percanggahan diperoleh. Dalam erti kata lain, paradoks adalah cara untuk menunjukkan bahawa andaian yang diberikan bukan sebahagian daripada sebab. Ahli falsafah, saintis, ahli matematik, dan ahli logik semuanya telah menggunakan paradoks untuk menunjukkan kesahihan atau sebaliknya andaian, dan sebagainya untuk menunjukkan batasan kepada sebab. Mereka menganggap idea, dan jika percanggahan atau kepalsuan diperoleh daripadanya, maka andaian itu salah. Jika tidak, andaian itu secara logiknya sah.

Marilah kita kembali ke kampung kecil kita dan lihat bagaimana kita boleh menyelesaikan paradoks itu. Apakah andaian di sini?

Ramai yang telah memberikan penyelesaian mudah kepada paradoks: tukang gunting itu botak, atau isteri tukang gunting memotong rambutnya, atau tukang gunting berhenti kerjanya sebagai tukang gunting dan kemudian memotong rambutnya sebelum mengambil kerjanya semula, dsb. Semua 'penyelesaian' ini hanya menyelinap di sekeliling masalah. Di kampung kami semua orang perlu memotong rambutnya; tiada orang lain - malah isteri tukang gunting rambut - dibenarkan memotong rambut orang lain, dan tukang gunting rambut tunggal tidak boleh berhenti buat sementara waktu.

Sebenarnya, idea-idea ini adalah bayangan penyelesaian sebenar kepada paradoks tukang gunting, iaitu untuk menyedari bahawa kampung yang digambarkan dengan peraturannya yang ketat tidak boleh wujud . Alam semesta fizikal tidak akan membenarkan kewujudan kampung sedemikian, kerana ia membayangkan percanggahan. Terdapat banyak kampung terpencil dengan seorang tukang gunting, tetapi di dalamnya peraturan boleh dilanggar dalam pelbagai cara: tukang gunting rambut dari bandar lain mungkin melawat, atau tukang gunting boleh botak, atau tukang gunting meminta isterinya memotong rambutnya, atau tukang gunting rambut memotong rambutnya sendiri (jadi peraturan tidak berlaku), dsb. Semua senario berbeza ini boleh berlaku untuk memastikan tiada percanggahan di alam semesta. Ringkasnya, andaian paradoks tukang gunting ialah kampung dengan peraturan ini wujud. Andaian ini salah.

Terdapat satu lagi paradoks yang diketahui oleh setiap peminat fiksyen sains. Paradoks perjalanan masa atau paradoks datuk adalah tentang pengembara masa yang kembali ke masa lalu dan membunuh datuknya sebelum dia bertemu dengan neneknya. Tindakan ini memastikan bahawa bapa pengembara masa tidak akan dilahirkan, dan oleh itu pengembara masa itu sendiri tidak akan dilahirkan. Jika dia tidak dilahirkan, dia tidak akan dapat kembali ke masa lalu dan membunuh datuk bujangnya; jadi, jika dia membunuh datuk bujangnya, maka dia tidak akan membunuh datuk bujangnya; dan jika dia tidak membunuh datuk bujangnya, maka dia boleh kembali dan membunuh datuk bujangnya. Ini sekali lagi adalah percanggahan.

Sesungguhnya, seseorang tidak perlu menjadi sangat membunuh untuk mendapatkan keputusan sedemikian. Apa yang perlu dilakukan oleh pengembara masa ialah kembali ke masa dua minit sebelum dia masuk ke dalam mesin masanya dan memastikan bahawa dirinya sebelum ini tidak memasuki mesin itu. Menghentikan dirinya yang awal daripada memasuki mesin masa untuk menghalang dirinya daripada memasuki mesin akan memastikan bahawa dia tidak dapat menghalang dirinya daripada memasuki mesin. Sekali lagi, percanggahan. Kebanyakan tindakan mempengaruhi tindakan lain. Pengembara masa mempunyai keupayaan unik untuk melakukan tindakan yang mempengaruhi dirinya sendiri. Paradoks berlaku jika pengembara masa melakukan tindakan yang menafikan dirinya sendiri.

Paradoks perjalanan masa diselesaikan dengan mudah: andaian bahawa perjalanan ke belakang dalam masa adalah mungkin adalah salah; atau walaupun perjalanan masa ke belakang boleh dilakukan, pengembara masa tetap tidak akan dapat kembali dan melakukan tindakan yang bercanggah dengan dirinya sendiri. Tidak mungkin alam semesta akan membiarkan pengembara masa membunuh datuk bujangnya sendiri.

Kedua-dua paradoks itu diselesaikan dengan cara yang sama. Kami datang kepada percanggahan dengan mengandaikan bahawa objek atau proses fizikal tertentu wujud. Sebaik sahaja kita meninggalkan andaian ini, kita bebas daripada percanggahan. Paradoks ini menunjukkan batasan dunia fizikal: kampung tertentu tidak boleh wujud, atau tindakan pengembara masa dihadkan. Terdapat banyak contoh paradoks fizikal yang serupa, dan ia diselesaikan dengan cara yang sama.

Paradoks Linguistik

Percanggahan tidak wujud dalam alam semesta fizikal. Walau bagaimanapun, terdapat tempat di mana percanggahan wujud: dalam fikiran dan bahasa kita. Ini membawa kita kepada jenis paradoks kedua kita. Berbeza dengan alam semesta, minda manusia bukanlah mesin yang sempurna. Ia penuh dengan percanggahan, dengan keinginan dan ramalan yang bercanggah. Kami mahu perkara yang bertentangan. Kami suka perkara yang kami tahu tidak baik untuk kami, dan kami mempunyai cita-cita yang bercanggah dalam hidup kami. Begitu juga, bahasa kita, yang menyatakan idea fikiran, juga menyatakan percanggahan. Kita boleh kata saya sayang dia! dan Dia buat saya gila! dalam beberapa saat antara satu sama lain. Mana-mana remaja boleh dengan mudah menyenaraikan semua kenyataan bercanggah yang pernah keluar dari mulut ibu bapa mereka. Ketidaksempurnaan dalam apa yang kita fikirkan dan katakan membentuk kelas paradoks seterusnya.

Paradoks yang paling terkenal dalam bahasa ialah paradoks pembohong . Pernyataan ringkas 'Pernyataan ini palsu' nampaknya benar dan salah. Jika ia benar, maka ia menegaskan bahawa ia adalah palsu; sebaliknya, jika ia palsu, maka kerana ia mengatakan ia palsu, ia adalah benar. Kebanyakan pernyataan deklaratif - iaitu, pernyataan yang menegaskan sesuatu - sama ada benar atau salah. Di sini, kenyataan itu benar dan salah. Ia adalah percanggahan.

Apa yang boleh dilakukan dengan paradoks pembohong? Sesetengah ahli falsafah mengatakan bahawa 'Pernyataan ini adalah palsu' bukanlah pernyataan deklaratif yang sah. Ia sebenarnya tidak mengisytiharkan apa-apa tentang apa-apa. Kenyataan yang menghasilkan masalah seperti ini benar-benar tidak masuk akal. Sesetengah pemikir ingin mengehadkan jenis pernyataan yang boleh kita gunakan supaya paradoks tidak timbul.

Ramai orang mendapati tiada sebab untuk hilang tidur kerana paradoks pembohong. Lagipun, banyak yang keluar dari mulut kita adalah mengarut. Jadi, katakan bahawa kenyataan pembohong itu tidak benar dan tidak palsu. Daripada cuba menyelesaikan paradoks dengan mengelakkan percanggahan, kami mengabaikan paradoks sebagai bahasa karut 'hanya'. Ia hanyalah ucapan manusia tanpa makna.

Lelaki Botak oleh Leonardo Da Vinci

Satu lagi paradoks bahasa dipanggil paradoks lelaki botak . Pertimbangkan seorang lelaki yang sama sekali tidak mempunyai rambut di kepalanya. Kita semua boleh bersetuju bahawa lelaki ini harus dipanggil 'botak'. Bagaimana jika seorang lelaki mempunyai rambut tunggal di kepalanya? Kebanyakan kita masih bersetuju bahawa menambah satu rambut bersendirian tidak akan mengubah perihalan, dan dia masih akan dianggap botak. Daripada ini kita boleh membuat peraturan yang lebih umum: jika seorang lelaki dianggap botak, maka menambah satu rambut bersendirian tidak mengubah statusnya, dan dia masih dianggap botak. Menggunakan peraturan ini berulang kali, kita membuat kesimpulan bahawa seorang lelaki dengan dua rambut adalah botak, seorang lelaki dengan tiga rambut adalah botak, seorang lelaki dengan empat rambut adalah botak … seorang lelaki dengan 100,000 rambut adalah botak. Tetapi kita tahu bahawa kenyataan terakhir itu adalah palsu. Jadi kita mempunyai percanggahan. Di satu pihak, kita boleh membuktikan bahawa seorang lelaki dengan sebarang jumlah rambut kekal botak; dan sebaliknya, kita tahu bahawa terdapat beberapa lelaki yang tidak botak. Apa yang berlaku di sini?

Sekali lagi, penyelesaian kepada paradoks ini (atas sebab sejarah yang dikenali sebagai paradoks sorites ) adalah mudah. Ia adalah untuk mengiktiraf bahawa tidak ada definisi tepat bagi perkataan 'botak', jadi tidak ada penandaan yang tepat antara botak dan tidak botak. Perkataan 'botak' adalah ciptaan manusia yang tidak mempunyai definisi yang tepat. Begitu juga, perkataan samar lain - 'tinggi,' 'pendek,' 'pintar', dll - tidak mempunyai makna yang tepat. (Sebaliknya, frasa 'lebih enam kaki tinggi' mempunyai makna yang tepat.) Oleh itu, kita boleh menggunakan penyelesaian yang sama untuk paradoks lelaki botak seperti yang dilakukan oleh sesetengah orang untuk paradoks pembohong: abaikan ia. Manusia telah berjaya menggunakan perkataan yang samar-samar sejak sekian lama. Kita boleh mengabaikan paradoks lelaki botak kerana ia adalah mengenai bahasa manusia, yang sememangnya cacat.

Paradoks Matematik

Setakat ini kita telah melihat bahawa beberapa paradoks menunjukkan kepada kita bahawa terdapat objek atau proses fizikal yang tidak boleh wujud, manakala paradoks lain adalah mengenai bahasa dan boleh diabaikan. Walau bagaimanapun, terdapat kelas ketiga paradoks yang datang dari bahasa yang tidak boleh diabaikan.

Matematik adalah bahasa yang digunakan oleh manusia untuk memahami dunia. Memandangkan matematik ialah bahasa, ia berpotensi mempunyai percanggahan. Walau bagaimanapun, kerana kita ingin menggunakan matematik dalam sains untuk bercakap tentang alam semesta fizikal, yang tidak mempunyai percanggahan, kita mesti memastikan bahawa bahasa matematik tidak mempunyai percanggahan, kerana kita mesti memastikan bahawa ramalan saintifik kita tidak berlaku. kesimpulan yang bercanggah. Jika kita membuat kesimpulan bahawa proses kimia hanya akan menghasilkan karbon monoksida, maka lebih baik kita pastikan pengiraan kita tidak mengatakan bahawa proses itu akan menghasilkan karbon dioksida. Atau jika terdapat dua cara untuk mengira berapa lama projektil akan diambil untuk kembali ke Bumi, kita mesti memastikan bahawa kedua-dua kaedah menghasilkan keputusan yang sama. Nasib baik, mudah untuk melihat bagaimana untuk mengelakkan percanggahan dalam matematik.

Masa pertama dan paling mudah kita menghadapi percanggahan dalam matematik adalah di sekolah rendah, apabila kita dimaklumkan bahawa kita boleh membahagi sebarang nombor dengan mana-mana nombor lain. kecuali sifar . Tabu untuk membahagi nombor dengan sifar kerana jika kita bahagi dengan sifar, kita boleh memperoleh percanggahan. Pertimbangkan pernyataan yang benar 0×2=0×3. Jika kita membahagikan kedua-dua belah dengan sifar untuk 'membatalkan' sifar, kita tinggal dengan 2=3. Jadi dengan membahagikan dengan sifar kita mendapat percanggahan: 2≠2. Jadi sementara paradoks fizikal menunjukkan kepada kita bahawa objek atau proses tertentu tidak boleh wujud, paradoks dalam matematik menunjukkan kepada kita bahawa walaupun kita boleh melakukan operasi tertentu, kita tidak sepatutnya, supaya kita tidak mencapai percanggahan.

Ahli matematik (dan ahli falsafah juga) boleh menggunakan fakta bahawa percanggahan tidak dibenarkan untuk membuktikan teorem. Ini dipanggil pengurangan kepada yang tidak masuk akal atau bukti dengan percanggahan : jika anda ingin membuktikan bahawa pernyataan tertentu adalah benar, anggap ia palsu dan dapatkan percanggahan. Oleh kerana tidak boleh ada percanggahan, andaian kepalsuan mestilah tidak betul dan oleh itu pernyataan asal adalah benar. Bukti sedemikian memainkan peranan utama dalam matematik moden.

Mari kita lihat contoh dari dunia set. Set ialah koleksi objek, dan ia datang dalam pelbagai bentuk: terdapat set epal hijau di dalam peti sejuk saya; set sel dalam badan saya; set semua nombor nyata, dsb. Terdapat juga set yang mengandungi set. Sebagai contoh, sekolah boleh dianggap sebagai satu set kelas. Setiap kelas, seterusnya, boleh dianggap sebagai satu set pelajar. Jadi sekolah boleh menjadi satu set pelajar.

Kehidupan menjadi menarik apabila kita memikirkan set yang mengandungi diri mereka sendiri. Terdapat contoh sebenar set sedemikian. Pertimbangkan set idea yang terkandung dalam artikel ini. Set itu mengandungi dirinya sendiri: set idea yang terkandung dalam artikel ini ialah idea yang terkandung dalam artikel ini. Set semua set yang mempunyai lebih daripada satu elemen juga mengandungi dirinya sendiri. Himpunan semua perkara yang tidak berwarna merah mengandungi dirinya sendiri.

Russell membangunkan satu lagi paradoks, kali ini mengenai set. Pertimbangkan semua set yang tidak mengandungi diri mereka sendiri . Mari kita panggil koleksi itu R. Sekarang kemukakan soalan: adakah R mengandungi R? Jika R memang mengandungi R, maka sebagai ahli R, yang ditakrifkan sebagai mengandungi hanya set yang tidak mengandungi diri mereka sendiri, R tidak mengandungi R. Sebaliknya, jika R tidak mengandungi dirinya sendiri, maka, mengikut definisi, ia memang tergolong dalam R. Sekali lagi kita datang kepada percanggahan. Ini dipanggil Paradoks Russell .

Sekarang kita mempunyai kebiasaan yang cukup dengan paradoks untuk mengetahui bahawa kaedah yang jelas untuk menyelesaikan paradoks Russell adalah dengan hanya mengisytiharkan bahawa set R tidak wujud. Walau bagaimanapun, perkara tidak begitu mudah di sini. Mengapakah koleksi unsur yang kita panggil R tidak boleh wujud? Kami memberikan pernyataan yang tepat tentang jenis objek yang terkandung di dalamnya: 'set yang tidak mengandungi diri mereka sendiri'. Namun kami telah mengisytiharkan bahawa koleksi ini bukan set yang sah dan tidak boleh digunakan dalam perbincangan matematik. Ahli matematik dibenarkan membincangkan epal hijau di dalam peti sejuk saya, tetapi tidak dibenarkan menggunakan set R, kerana set R akan membawa kita kepada percanggahan.

Contoh terakhir kami menggunakan paradoks dalam matematik adalah salah satu teorem yang paling penting dalam matematik abad kedua puluh: Teorem Ketidaklengkapan Gödel . Dalam matematik, mana-mana pernyataan yang boleh dibuktikan mestilah benar mengikut definisi, kerana di sini bukti bermaksud 'dibuktikan secara matematik sebagai benar'. Sebelum Kurt Gödel (1906-78) datang, ahli matematik menganggap bahawa sebarang pernyataan matematik yang benar juga boleh dibuktikan. Gödel menunjukkan andaian ini adalah palsu dengan merumuskan pernyataan matematik yang serupa dengan pernyataan pembohong, yang pada dasarnya mengatakan dengan sendirinya 'Pernyataan matematik ini tidak dapat dibuktikan'.

Mari kita fikirkan sebentar. Jika pernyataan matematik 'Pernyataan matematik ini tidak boleh dibuktikan' tidak dapat dibuktikan, maka ia adalah benar. Sebagai alternatif, jika 'Pernyataan matematik ini tidak boleh dibuktikan' boleh dibuktikan, maka ia adalah palsu. Tetapi bagaimana membuktikannya boleh membawa kita kepada kenyataan palsu? Itu adalah percanggahan, kerana semua bukti matematik adalah bukti definisi bagi pernyataan yang benar. Kita mesti membuat kesimpulan bahawa kenyataan Gödel adalah benar dan tidak boleh dibuktikan. Paradoks telah membawa kita kepada sekatan kuasa matematik: terdapat kenyataan dalam matematik yang benar, tetapi tidak boleh dibuktikan.

Kami telah melihat tiga jenis paradoks yang berbeza dan penyelesaiannya. Sesetengah paradoks adalah mengenai alam semesta fizikal dan oleh kerana percanggahan tidak boleh wujud dalam alam semesta fizikal, paradoks tersebut menunjukkan batasan kepada apa yang boleh wujud secara fizikal. Sebaliknya, beberapa paradoks adalah mengenai bahasa manusia yang penuh dengan percanggahan, dan kita boleh mengabaikan percanggahan itu. Akhirnya, terdapat paradoks dalam matematik, di mana kita mesti berhati-hati memerhatikan langkah kita supaya kita tidak mengalami sebarang percanggahan. Sebahagian besar batasan akal yang menghairankan datang daripada ketiga-tiga kategori paradoks ini.

Noson S. Yanofsky ialah Profesor Sains Komputer dan Maklumat di Kolej Brooklyn dan Pusat Siswazah City University of New York. Dia adalah pengarang buku yang dikeluarkan baru-baru ini Had Luar Akal: Apakah Sains, Matematik dan Logik tidak boleh Beritahu kami (MIT Press).